什么是中心差分近似？

对于具有多阶导数的连续函数 f(x)f(x)， 根据泰勒展开公式有：

f(t)=f(t0)+f′(t0)(t−t0)+12!f′′(t0)(t−t0)2+13!f′′′(t0)(t−t0)3+…f(t)=f(t_0) + f^\prime(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(t_0)(t-t_0)^2 + \frac{1}{3!}f^{\prime\prime\prime}(t_0)(t-t_0)^3 + \ldots

示意图如下：

令 h=t−t0h=t-t_0, t0=xt_0=x，则有：

f(x+h)=f(x)+hf′(x)+h22!f′′(x)+h33!f′′′(x)+…f(x−h)=f(x)−hf′(x)+h22!f′′(x)−h33!f′′′(x)+…f(x+h)=f(x) + hf^\prime(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x) + \frac{h^3}{3!}f^ {\prime\prime\prime}(x) + \ldots\\ f(x-h)=f(x) - hf^\prime(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x) - \frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x) + \ldots

中心差分是近似计算 f(x)f(x) 导数的常用数值方法，根据上面的泰勒展开式有：

一阶中心差分： f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2hf^\prime(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} 。

二阶中心差分：f′′(x)≈f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2f^{\prime\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-2f(x) + f(x-h)}{h^2}

以此类推，可以得到更高阶导数的近似数值解，其选取的项和系数见下表：

例如，根据该表，三阶导数为：

f′′′(x)≈f(x+2h)−2f(x+h)+2f(x−h)−f(x−2h)2h3f^{\prime\prime\prime}(x) \approx \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3}