损失函数、代价函数、目标函数的区别

以下叙述并不严格，但比较好理解：

（1）损失函数（Loss Function）

损失函数通常是定义在单一数据点、预测和标签上的函数，用于为衡量惩罚。例如：

• 平方损失 $l(f(x_i|\theta),y_i) = \left (f(x_i|\theta)-y_i \right )^2$l(f(x_i|\theta),y_i) = \ left (f(x_i|\theta)-y_i \right )^2，用于线性回归
• 铰链损失 $l(f(x_i|\theta), y_i) = \max(0, 1-f(x_i|\theta)y_i)$$l(f(x_i|\theta), y_i) = \max (0, 1-f(x_i|\theta)y_i)$，用于SVM
• 0/1 损失 $l(f(x_i|\theta), y_i) = 1 \iff f(x_i|\theta) \neq y_i$$l(f(x_i|\theta), y_i) = 1 \iff f(x_i|\theta) \neq y_i$，用于理论分析和精度定义

（2）代价函数（Cost Function）

代价函数 通常更一般。它可能是训练集上的损失函数加上一些模型复杂性惩罚（正则化）的总和。例如：

• 均方误差 $MSE(\theta) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left (f(x_i|\theta)-y_i \right )^2$$MSE(\ theta) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left (f(x_i|\theta)-y_i \right )^2$

• SVM 代价函数 $SVM(\theta) = \|\theta\|^2 + C \sum_{i=1}^N \xi_i$$SVM(\theta) = \|\theta\|^2 + C \sum_{i=1}^N \xi_i$（连接 $\xi_i$$\xi_i$ 与 $C$$C$ 和训练集的附加约束）

  （3）目标函数（Object Function）

目标函数是你在训练期间用于优化的任意函数的通用术语。例如，在最大似然方法中生成训练集的概率是一个定义明确的目标函数，但它不是损失函数也不是代价函数（但你可以定义一个等效的代价函数）。例如：

• 似然估计是一种目标函数，通常希望最大化似然
• 类型之间的散度可以是一个目标函数，但它几乎不是代价函数，除非你定义一些人为的东西，比如 1-Divergence，并将其命名为代价。

长话短说： 损失函数 是 代价函数 的一部分，而 代价函数 是 目标函数的一种。