什么是中心差分近似？

对于具有多阶导数的连续函数 $f(x)$， 根据泰勒展开公式有：

$$
f(t)=f(t_0) + f^\prime(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(t_0)(t-t_0)^2 + \frac{1}{3!}f^{\prime\prime\prime}(t_0)(t-t_0)^3 + \ldots
$$

示意图如下：

令 $h=t-t_0$, $t_0=x$，则有：

$$
f(x+h)=f(x) + hf^\prime(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x) + \frac{h^3}{3!}f^
{\prime\prime\prime}(x) + \ldots\
f(x-h)=f(x) - hf^\prime(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x) - \frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x) + \ldots
$$

中心差分是近似计算 $f(x)$ 导数的常用数值方法，根据上面的泰勒展开式有：

一阶中心差分： $f^\prime(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ 。

二阶中心差分：$f^{\prime\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-2f(x) + f(x-h)}{h^2}$

以此类推，可以得到更高阶导数的近似数值解，其选取的项和系数见下表：

例如，根据该表，三阶导数为：

$$
f^{\prime\prime\prime}(x) \approx \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3}
$$