【摘 要】 地理与艺术或数学与艺术之间是否存在任何已知的协同作用，将所有这三个学科联系起来？地理人文和数学人文文献只描述了这两个单独的协同作用。一种新的定量地理学方法利用复杂的数学概念来分析遥感卫星图像，当扩展到艺术绘画时，它确实跨越了所有三个学科。组织概念是空间自相关，或者不相似/相似的颜色及其强度在绘画中聚集的趋势。本文总结了这一论点的论证，并具体应用于达芬奇、莫奈和伦勃朗的画作。它的主要贡献是，对于绘画的高地理分辨率数字版本，通过明智选择和组合的空间自相关分量构建的复制品与其原始来源的数字副本非常接近，进一步概括了文献中报道的某些近期发现。

【原 文】 Griffith, D.A. (2022) ‘Art, Geography/GIScience, and mathematics: A surprising interface’, Annals of the American Association of Geographers, 0(0), pp. 1–12. Available at: https://doi.org/10.1080/24694452.2022.2086101.

1 引言

讨论涉及三个关键概念：跨绘画的颜色模式、被称为特征函数的抽象数学矩阵性质、空间自相关。这三者在本文中构成了一个相对较新的学术跨学科主题，出现在定量地理学和多个人文学科的交叉点。
它们与 Young 和 Kelly（2017 年）等论文已经认可和体现的学术传统一致，他们将遥感图像呈现为艺术，以及 Mennis（2018 年）将地理信息系统 (GIS) 与艺术表现形式联系起来。
然而，这些著作都没有提到特征函数的数学概念，更不用说它们与绘画的关系了。他们和任何其他地理人文学科论文，都没有提到相邻地理位置（或绘画位置）处的空间自相关性比更远位置处的空间自相关性更相似，这是地理参考数据的基本性质，无论是定量还是定性范围。

这篇多学科文章的主要贡献是： 将定量地理学和地理信息科学进一步适配到数学-艺术接口，一个地理人文学科的新选项。此外，地理、数学和艺术之间的接口为本文营造了一种地理人文气息。

地理学，以及最近通过 GIS 可视化的 GIScience，与艺术有着悠久而传奇的历史联系，首先是通过制图学（Cartwright、Gartner 和 Lehn 2009），最近通过分析艺术中描绘的地理等学术努力（例如，曼尼斯 2018）。在来自太空的艺术背景下，更多当代遥感卫星图像加强了这种联系（Young 和 Kelly 2017）。数学与艺术也有着悠久而传奇的历史联系，首先是通过几何和拓扑学，最近是通过计算数学，其中包括科学计算（Schattschneider 2003；Farsi and Craft 2005；Malkevitch 2009）。这两项追求引发了最近的定量地理学工作，涉及图像分析（例如，Johnson 等人，2008 年；Hurtut，2010 年；Redies 和 Brachmann，2017 年）、熵和其他统计分析（例如，Kim、Son 和 Jeong，2014 年；Sigaki，Perc，和 Ribeiro 2018）、定量评级（Schoch、Gruber 和 Ostermann 2017）以及更复杂的绘画数学分析（Machado 和 Lopes 2019）。这些研究工作构成了本文的部分动机，它试图通过发展这个界面来丰富地理人文学科，进而丰富地理学。

本文的另一个动机来源是空间自相关和特征函数概念之间的相互作用（例如，Griffith 2021a；Abdi [2007] 为定量地理学家提供了关于这些数学实体的读者友好的叙述）。因为艺术绘画倾向于关注模式，正空间自相关，已经在地理空间信息科学（例如地理学，GIScience）基本概念方面注意到，在艺术绘画中几乎总是很明显（即使在波洛克的点滴/手势抽象绘画中）。这种联系支持将空间统计扩展到定量地理学、数学和艺术之间的接口，为学术学院提供统一的跨学科主题。此扩展的一组关键要素包括空间权重矩阵，它是空间统计和计量经济学的核心，对于 n 个位置，它是一个 n×n 矩阵（即表格；例如，Microsoft Excel 电子表格），用于量化哪些地图位置是并且不是并列的（即邻居，彼此相邻，共享一个共同的边界），它的特征函数 2 令人惊讶地结合在定量地理学、数学和艺术之间完全出乎意料的界面中。另一个令人惊讶的是，搜索相关学术文献，即使特别强调 GeoHumanities、Journal of Mathematics and the Arts、Digital Humanities Quarterly 和 International Journal of Humanities & Arts Computing 等媒体，也无法检索到任何甚至适度的信息将这两个概念联系起来的出版物早于格里菲斯（2016 年、2020 年、2021a），尽管 Burdzy (n.d.) 承认 Ellsworth Kelly 的一幅画（两幅画：绿橙，布面油画，卡内基艺术博物馆，匹兹堡，1970 年） ) 说明了锐角三角形中的第二个诺伊曼特征函数。 Griffith (2021a) 论证了这幅画还与构成完整矩形区域的遥感图像的最大正空间自相关图模式有关。也许最接近更一般的处理方法是特征脸，它使用主成分因子分析技术分析大量对齐和校正的面部图像之间的相关性，而不是嵌入在单个图像中的空间自相关。本文的目的是再次为填补现有文献中的这一空白做出贡献，并扩展了 Griffith (2020, 2021a) 最近发表的文章。

通过这样做，它提供了一种高效且有效的方法来复制绘画的数字图像（例如，Stork 2010）。它还指出了不同类型的遥感和美术图像的各种显着空间自相关特性的相似性。此外，它还强调了一个跨越定量地理学、数学和艺术的意想不到的显着统一维度，揭示了这一维度也与绘画的高分辨率数字版本有关。 3

因此，本文的首要目的是双重的：证实定量地理学的空间分析方法为艺术史提供了一个有用的空间自相关工具，例如绘画鉴定、修复、复制和鉴定；并欣赏艺术家及其绘画的空间自相关之间的关系，并更好地理解空间自相关所起的作用。它总结了一种比文献中出现的竞争对手（例如 Albadarneh 和 Ahmad 2017）更加通用、透明、低成本、自动化的方法，这些方法往往更加主观（例如，采用从分类器派生的基于机器学习的规则受过绘画训练），或渲染相当模糊和细节缺失的绘画再现；例如，Griffith [2021a] 讨论的比较克里金法或传统主成分分析输出）。这两个优势部分证明并证明了它所提倡的方法的有效性。此外，它还突出了地理学作为一门学科的真实而广泛的跨学科性质。

2 空间权重矩阵的特征函数：绘画背后的数学

特征函数是可追溯到 1700 年代的复杂而抽象的数学实体。特征函数是一对数学量，一个是标量，另一个是 n×1 向量。学生在其他学术领域、线性和矩阵代数、多元统计以及选定的 GIS、物理和工程课程中遇到这些结构。 n×n 矩阵具有 n 个特征函数。包含 0–1 个条目的空间权重矩阵（即，如果行位置和列位置标签是邻居，则单元格条目为 1，否则为 0，所有对角线单元格均为 0；参见脚注 3）描述了以下之间的联系，以及地理空间中位置的配置——也就是说，位置如何在地理景观中联系在一起。这些位置耦合指定那些直接相关的地理参考属性值的位置（见 Haining 1983），例如油漆颜色的光谱测量。该矩阵的修改（即双中心）版本出现在 Moran (1950) 空间自相关系数指数的分子中，产生特征函数，区分空间自相关的全套不同地图模式，从最大负到最大积极的

格里菲斯 (Griffith) (2016) 首次发表了对这个界面的认可，展示了它对一组非常有限的绘画和它们的一些特征。他们中的许多人引用了 Susan Rosmarin 的作品，他第一次接触格里菲斯最初促使他思考本文的主题，描绘了规则方形镶嵌的双中心空间权重矩阵的各种特征向量，这是遥感数据的基础。 Griffith (2020) 将这一初步分析扩展到范围更广的特征向量。他还将它扩展到选定的杰作，展示了空间自相关在艺术展览中出现的遥感图像（例如 Young 和 Kelly 2017）和历史上著名艺术家的名画的精选数字渲染中的基础作用。 Griffith (2021a) 进一步将空间权重矩阵特征向量的见解扩展到绘画和艺术家的多元统计分化和分类，通过明确地将后一种方法与 Geary (1954) 比率联系起来，阐述了这种分析与现有光谱几何方法的不同之处，有点Moran 系数的较差空间自相关指数竞争对手。本文通过分析包含数千万像素的更传统的遥感图像，做出了超越这些先前发现的贡献。它还贡献了来自更多艺术家的更大范围的额外更高分辨率（即数百万像素）的杰作。 4 换句话说，它为先前检查的较粗分辨率绘画的现有集合提供了更精细的地理分辨率分析结果（格里菲斯2016 年、2020 年、2021 年 a)。这些附加示例的概念性好处包括建立一个更全面的基准，以确保在更广泛的数字艺术作品分辨率范围内的发现一致性；为随后的绘画分析目的收集确定最佳像素大小的证据；为分析大量地理参考绘画数据集提供可行性论证；提供有关高分辨率艺术品图像中细节的清晰度是否与底层空间自相关分量不兼容的见解；在需要裁剪图像时减少绘画画布范围的损失；当非常暗的色素沉着覆盖特别大的图像片段时（例如，在伦勃朗的一些画作中有相当大的黑色或近乎黑色），并且可能会减少数据噪声。

3 想法的诞生：地理-特征函数-艺术之间联系一瞥

利用上述空间自相关与空间权重矩阵特征函数之间的关系，Griffith（2003）制定了一种相对较新的空间统计方法，称为莫兰特征向量空间滤波（MESF）。这种定量方法构建了空间权重矩阵特征向量的线性组合（即加权和），以解释地理参考变量中潜在的空间自相关。此过程不同于主成分因子分析，后者使用特征向量作为这些线性组合的系数（即系数权重）来构建原始属性变量的线性组合。那么，在这里，他们将构造构成空间权重矩阵的指示变量的线性组合。 MESF 有效地尝试尽可能接近地重现给定地理分布所展示的地图模式。这种方法的第一个应用是基于例如美国人口普查单位（例如街区、街区组、区域）或其他政府区（例如县、州、国家）的地理标记社会经济和人口数据的不规则多边形地图。接下来，这种方法被扩展到栅格数据，特别是遥感图像，其中包含像素的规则方形镶嵌。由于此类图像中的像素数量远远大于社会经济和人口统计数据的行政表面分区中的多边形数量，Griffith (2000) 为栅格数据推导出了一个完整的解析解（解析特征值已知；Ord 1975）特征函数问题。

基于栅格的空间自相关地图模式显示较粗糙的地理分辨率模式，类似于正在研究的地图的规则方形镶嵌形式，其中嵌套了较精细的地理分辨率像素。通过目视观察 Rosmarin 的绘画展示，这种较粗糙的地图图案特征为特征函数与艺术之间的联系提供了初步线索。

2010 年，艺术家 Susie Rosmarin 在圣安东尼奥艺术博物馆展出了她的一组画作 (Rubin 2010)。例如，她的一些画作暗示了使用格里菲斯 (2000) ) 符号。 Griffith (2016) 通过识别 Rosmarin 的几幅画作的显着特征向量证明了这种联系，占光谱带地理方差的 33%（即红-绿-蓝 [RGB] 值范围从 0 到 255）代表在一幅画中混合在一起的红色、绿色和蓝色。他的分析需要首先检索一幅绘画的光谱感知数字版本；使用 GIS 提取其红色、绿色和蓝色光谱带；然后将每个栅格数据集转换为 ASCII 数据集。接下来，他对这三个 ASCII 数据集分别进行了简单的 MESF 分析，确定了它的几个（通常只有两个）最突出的特征向量。这种初步分析的目的是展示科学概念，但并不完整，因为每幅画都有数十万个特征向量需要评估。最后，三个构造的部分特征向量空间滤波器 (ESF) 在 GIS 内的真彩色合并中组合，以正确着色并将红色、绿色和蓝色 ESF 集成为平滑的光谱带。由此产生的复制画 (Griffith 2016) 与其原始源画非常相似，建立了空间权重矩阵特征函数-艺术（即数字地理-数学-艺术）联系。

4 站在十字路口的地理人文：地理-特征函数-艺术之间联系详解

为了规避评估伴随遥感卫星图像的数十万甚至数百万个特征向量的数值强度限制，Griffith 和 Chun (2019) 设计了块 MESF。 Griffith (2020) 将此公式应用于 Rosmarin 的绘画，以及 Young 和 Kelly (2017) 的遥感图像作为艺术，以及三幅古典绘画（莫奈、伦勃朗和梵高）。所选绘画具有数百×数百的像素尺寸（即具有数万到数十万到数百万特征向量的情况）。 ESF 重建的绘画本质上与其对应的原始源绘画数字图像非常相似。此外，一项比较分析表明，这些 ESF 重建的绘画优于使用估计的空间统计自回归或地统计克里格模型重建的绘画。换句话说，一幅画的数字图像几乎可以从其潜在的空间自相关分量中完美再现。这是一个了不起的发现，它在某种意义上将微观到中观或宏观人类地理联系起来，即局部空间自相关与绘画部分和画布范围相关联，就像它与区域和地图范围的空间自相关模式一样。 Block MESF 将数字绘画划分为大量子区域。 Griffith (2020) 使用的大小是 25 x 25，因为它显示了某些吸引人的可视化和计算机执行时序属性（Griffith 和 Chun 2019）。然后，该方法涉及为这些子区域中的每一个构造一个 ESF，将 MESF 问题从评估最多 n 个（非常大的数量）特征向量转换为评估最多 625 个特征向量，n 的一部分，多个（即 n/625 ) 次——实际数量为 600，因为 25 个特征向量表示零空间自相关。连接多个区域 ESF 遵循它们各自的构造。这种方法提供了一个近似的 ESF，它提供了对遥感数据中潜在的空间自相关的显着解释，因此具有再现各种绘画数字图像的显着能力。它为构建分析艺术评估奠定了基础，该评估优于目前使用的熵和其他基于统计和图像分析的技术。

5 成熟想法：统一地理-数学-艺术的一个示范：

三个感兴趣的学科的统一概念是空间自相关。统一数学是与特征函数相关联的数学。

这两个概念一起允许非常详细地准确再现任何图像。图 1 和图 2 分别选择了相对较高的地理分辨率（艺术画的像素尺寸为千比千）遥感图像和艺术家绘画，呈现了各种不同可视化的结果：佛罗里达大沼泽地（美国） )，武汉（中国）地区，秘鲁的冶炼区，以及伦勃朗、莫奈和达芬奇绘画的数字图像。这些图像构成了一个有目的的样本，旨在捕捉广泛的不同背景，以补充和扩展格里菲斯 (2016、2020、2021a) 已经调查过的收藏。表 1 提供了这些图像的公共领域数字版本的网页来源。所有图像都经过最低限度的修剪（即裁剪），以允许 25 x 25 的子区域嵌套到它们的全局像素尺寸中。

5.1 遥感图像

佛罗里达大沼泽地图像（图 1A）描绘了一种自然的颜色相似性，因为它类似于人眼看到的相同颜色，并且是可见的红色、绿色和蓝色光谱带的合成。地面特征的颜色与它们在人眼中的外观相似，健康的植被是绿色的，不健康的植被是棕色和黄色的，最近清理过的田地颜色很浅，道路是灰色的，海岸线是白色的。其他波段组合产生竞争性的自然色彩可视化效果，可以更有效地区分云和雪、浅水和土壤，或各种植被类型。此处使用的自然颜色组合的计算涉及将卫星图像反射率值缩放到先前提到的 0 到 255 范围，拉伸记录的光谱值以强调植被而不修剪极值。

秘鲁图像（图 1B）描绘了 La Oroya 的标准化差异植被指数 (NDVI)——使用最广泛的遥感像素特定数字，用于捕捉地球表面的光合作用水平（Xue 和 Su 2017）该地区历史上曾设有冶炼厂，并经历了相当大的空气污染和土壤污染（许多环境专家认为这是世界上污染最严重的地方）。 NDVI 可以使用 Landsat 7 ETM + 光谱带计算如下：

ð = Band# Þ4 þ Band#3 ð,

其中 Band #3 表示红色光谱带，Band #4 表示近红外光谱带（参见 http://www.gisagmaps.com/landsat-banddesignations/）。该指数在这里作为地理景观疤痕程度的指标可能很有用。

最后，武汉地区图像（图 1C）描绘了抗大气植被指数 (ARVI)——在测量植被覆盖、活力和地表生长动态时，使用最广泛的遥感像素特定数字之一来衡量大气气溶胶的影响地球（Xue 和 Su 2017）——可以使用 Landsat 8 OLI/TIRS 光谱带（它们的数量与 Landsat 7 光谱带的数量不同）计算如下：

ð= Þ Band#4 þj2Band#3 – Band#1j ð,

其中 Band #1 表示蓝色光谱带，Band #3 表示红色光谱带，Band #4 表示近红外光谱带，j 表示绝对值。武汉的位置在图像的右上角，横跨长江，就在长江大岛的南边。

这三幅图像代表了一组不同的地理景观，其中一幅具有广阔的湿地以及内陆和近海岸水域。另一个具有相当大的山区覆盖率。三分之一覆盖了一条主要河流（世界第三长河）以及山脉和一个相当大的大都市区（2022 年约有 850 万人口）。

图 1 显示了每个原始图像及其对应的空间自相关重建卫星图像的配对。表 2 中报告的汇总结果表明，空间自相关占光谱波段地理变化的 96% 到 99%，以及使用这些地理景观中的光谱波段构建的指数。每个图像的空间权重矩阵包含大约 2500 万个特征函数，每个特征函数与不同的性质或空间自相关程度有关。原始图像与其 MESF 重建对应图像的视觉比较表明，这些对在精细地理分辨率下几乎无法区分，并且在标准印刷页面的比例下查看时，甚至更大

表 1： 提供可下载 .jpg 文件的地理风景/绘画网站

Table01

表 2： 地理景观/绘画尺寸和图像-ESF 描述对应关系

Table02

5.2 艺术家的画作

本文对三位艺术家的画作（达芬奇、莫奈和伦勃朗的画作）的数字图像版本进行了分析，并补充了出现在格里菲斯 (2021a) 中的一幅类似的相对精细但仍较粗糙的地理分辨率的梵高画作。这些新的分析构成了本文的贡献之一。其中三件作品出自格里菲斯 (Griffith, 2020) 中分析的同一位画家之手，但在早期的研究中，他们的数字描绘具有较粗糙的地理分辨率。在每种情况下，空间自相关占每个红色、绿色和蓝色光谱带中大约 99% 的地理变化（表 2），平均增加近 3%（伴随着标准偏差从 2.2% 减少到 0.4%）具有本文中研究的更精细的地理分辨率。将这些绘画的原始数字图像版本与 MESF 重建的对应版本进行视觉比较表明，再现的图像在视觉上与初始数字编码没有区别，这一发现与前面的遥感图像相似。再次，与引言中的评论相呼应，定量地理学空间自相关分析方法为艺术史的绘画鉴定、修复、复制和鉴定提供了一个有用的工具。它还有助于理解空间自相关与艺术家、他们的绘画或两者之间的关系，并更好地理解它们所起的作用。

重申另一条介绍性评论，它提供了一种比文献中出现的竞争对手（例如 Albadarneh 和 Ahmad 2017）更加通用、透明、低成本、自动化的方法，后者往往更加主观（例如，采用基于机器学习的规则）源自用绘画训练的分类器）或渲染相当模糊或丢失细节的绘画再创作。数字形式可用艺术品数量的增加（Gavrilov、Maev 和 Almond，2014 年）应该有助于对其进行改进以供艺术史使用，这与其近年来在定量地理学中的改进演变相平行。

6 结论和启示

尽管特征函数数学可以追溯到 18 世纪，其基本概念基础可以追溯到早期希腊，但邻接矩阵特征函数（例如用于空间统计和计量经济学空间权重矩阵的那些）可以追溯到 1950 年代和 60 年代。也许第一篇针对后一个主题的论文出现在 1930 年代（例如，H€uckel 1931），但出现在量子化学的背景下。这种谱图理论概念迅速传播到定量地理学，Garrison 和 Marble (1964) 发表了关于表示交通网络平面图的邻接矩阵的特征函数，基本上将这种矩阵视为相关矩阵并将其进行因子分析。 Gould (1967) 和 Tinkler (1972) 在他们的论文之后对空间权重类型矩阵进行了更直接的特征分解处理。

本文进一步将这一概念扩展到艺术绘画的分析分析，强调了最近才认识到的地理、数学和艺术之间的接口。通过这样做，它有助于地理人文学科，并强调了地理学科通常被吹捧的跨学科性质。统一的概念是空间自相关。图像，无论是来自卫星传感器还是艺术家的大脑，在转换为数字版本时，都会成为选定的红色、绿色和蓝色光谱带强度可视化的线性组合。令人惊讶的是，任何可视化，尽管是卫星图像或作为数字图像的艺术家的绘画，都可以通过与简单的 25×25 正方形的二维结构相关的特定数学量的看似无限数量的组合中的特定组合来再现镶嵌系统地叠加在图片上。这确实是地理学、数学和艺术的统一维度，也是对地理人文学科和数学人文学科的知识贡献，尤其是它们的数字子学科研究。

这个新近被认可的艺术-地理/地理信息科学-数学接口激发了无数相当明显的后续研究议程。一项可能的工作是与基于 Geary 比率的特征向量（例如 Griffith 和 Li 2017）进行比较分析，其提取自数学中非常流行的拉普拉斯算子（例如 Merris 1998），以及黎曼流形的光谱几何学的宠儿（例如, Li and Saito 2019)，而不是双重约束矩阵。另一个是扩展 Griffith (2021a) 中展示的定量分析，例如，确定他提出的特征向量指数套件是否可以区分在各个艺术家职业生涯的不同阶段完成的绘画，或者空间自相关组件配置文件是否表征某些艺术家的方法或绘画。第三种方法是采用所描述的 MESF 方法来更好地理解那些转向制图和地理寻找想法、动机或愿景的艺术家的地图作品。这篇推测性评论仅列举了这一发现的界面激发的众多研究可能性中的一小部分，这样做有助于建立和交付本文超越其前辈的新贡献（Griffith，2016 年、2020 年、2021a）。

注解

参考文献

  • [1] Abdi, A. 2007. The Eigen-decomposition: Eigenvalues and eigenvectors. In Encyclopedia of measurement and statistics, ed. N. Salkind, 305–09. Thousand Oaks, CA: Sage.
  • [2] Abudayah, M., O. Alomari, and T. Sander. 2018. Spectrum of free-form sudoku graphs. Open Mathematics 16 (1):1445–54. doi: 10.1515/math-20180125.
  • [3] Albadarneh, I., and A. Ahmad. 2017. Machine learning based oil painting authentication and features extraction. International Journal of Computer Science and Network Security 17:8–17. http://paper.ijcsns.org/07book/201701/20170102.pdf.
  • [4] Bian, L., and Z. Xie. 2004. A spatial dependence approach to retrieving industrial complexes from digital images. The Professional Geographer 56 (3):181–93. doi: 10.1111/j.0033-0124.2004.05603007.x.
  • [5] Burdzy, K. n.d. Hot spots problem illustrated. Accessed June 20, 2022. https://sites.math.washington.edu/burdzy/hot_spots.php.
  • [6] Cartwright, W., G. Gartner, and A. Lehn, eds. 2009. Cartography and art. Berlin, Germany: SpringerVerlag.
  • [7] Delaney, J., M. Thoury, J. Zeibel, P. Ricciardi, K. Morales, and K. Dooley. 2016. Visible and infrared imaging spectroscopy of paintings and improved reflectography. Heritage Science 4 (6). doi: 10.1186/ s40494-016-0075-4.
  • [8] Farsi, C., and D. Craft. 2005. One in two, two in one: Mathematics and the arts. Math Horizons 12 (3):12–15. http://www.jstor.org/stable/25678525. doi: 10.1080/10724117.2005.12021799.
  • [9] Garrison, W., and D. Marble. 1964. Factor-analytic study of the connectivity of a transportation network. Papers of the Regional Science Association 12 (1):231–38. doi: 10.1007/BF01941256.
  • [10] Gavrilov, D., R. Maev, and D. Almond. 2014. A review of imaging methods in analysis of works of art: Thermographic imaging method in art analysis. Canadian Journal of Physics 92 (4):341–64. doi: 10. 1139/cjp-2013-0128.
  • [11] Geary, R. 1954. The contiguity ratio and statistical mapping. The Incorporated Statistician 5 (3):115–127, 129–46. doi: 10.2307/2986645.
  • [12] Gould, P. 1967. On the geographical interpretation of eigenvalues. Transactions of the Institute of British Geographers 42 (42):53–92. doi: 10.2307/621372.
  • [13] Griffith, D. 2000. Eigenfunction properties and approximations of selected incidence matrices employed in spatial analyses. Linear Algebra and Its Applications 321 (1–3):95–112. doi: 10.1016/S0024-3795(00)00031-8.
  • [14] Griffith, D. 2003. Spatial autocorrelation and spatial filtering: Gaining understanding through theory and scientific visualization. Berlin, Germany: Springer-Verlag.
  • [15] Griffith, D. 2016. Spatial autocorrelation and art. Cybergeo: European Journal of Geography: art. 46. doi: 10.4000/cybergeo.27429. Accessed January 23, 2016. http://cybergeo.revues.org/27429.
  • [16] Griffith, D. 2020. A spatial analysis of selected art: A GIScience–humanities interface. International Journal of Humanities and Arts Computing 14 (1–2):154–75. doi: 10.3366/ijhac.2020.0250.
  • [17] Griffith, D. 2021a. Eigenvector visualization and art. Journal of Mathematics and the Arts 15 (2):170–87. doi: 10.1080/17513472.2021.1922239.
  • [18] Griffith, D. 2021b. Interpreting of Moran eigenvector maps with the Getis–Ord Gi statistic. The Professional Geographer 73 (3):447–63. doi: 10.1080/ 00330124.2021.1878908.
  • [19] Griffith, D., and Y. Chun. 2019. Implementing Moran eigenvector spatial filtering for massively large georeferenced datasets. International Journal of Geographical Information Science 33 (9):1703–17. doi: 10.1080/ 13658816.2019.1593421.
  • [20] Griffith, D., and B. Li. 2017. A geocomputation and geovisualization comparison of Moran and Geary eigenvector spatial filtering. Paper presented at the 25th International Conference on Geoinformatics, Geoinformatics 2017, SUNY/Buffalo, Buffalo, NY, August 2–4.
  • [21] Haining, R. 1983. Anatomy of a price war. Nature 304 (5928):679–80. doi: 10.1038/304679a0. H€uckel, E. 1931. Quantentheoretische Beitra €ge zum Benzolproblem [Quantum-theoretical contributions to the benzene problem]. Zeitschrift F€ur Physik 70:204–86. doi: 10.1007/BF01339530.
  • [22] Hurtut, T. 2010. 2D artistic images analysis, a contentbased survey. hal-00459401. https://hal.archivesouvertes.fr/hal-00459401v1.
  • [23] Johnson, C., E. Hendriks, I. Berezhnoy, E. Brevdo, S. Hughes, I. Daubechies, J. Li, E. Postma, and J. Wang. 2008. Image processing for artist identification. IEEE Signal Processing Magazine 25 (4):37–48. doi: 10.1109/MSP.2008.923513.
  • [24] Kim, D., S.-W. Son, and H. Jeong. 2014. Large-scale quantitative analysis of painting arts. Scientific Reports 4:7370–77. doi: 10.1038/srep07370.
  • [25] Li, H., and N. Saito. 2019. Metrics of graph Laplacian eigenvectors. In Proceedings of SPIE Wavelets and Sparsity XVIII, ed. D. Van de Ville, M. Papadakis, and Y. M. Lu, vol. 11138, 111381K. San Diego, CA: International Society for Optics and Photonics.
  • [26] Machado, J., and A. Lopes. 2019. Artistic painting: A fractional calculus perspective. Applied Mathematical Modelling 65:614–26. doi: 10.1016/j.apm.2018.09.009.
  • [27] Malkevitch, J. 2009. Mathematics and art. Accessed June 20, 2022. http://www.ams.org/publicoutreach/featurecolumn/fcarc-art1.
  • [28] Mennis, J. 2018. Geographic representation in GIS and art: Common threads as exemplified in paintings by Seurat, Signac, Mondrian, and Diebenkorn. GeoHumanities 4 (1):178–95. doi: 10.1080/2373566X.2017.1415156.
  • [29] Merris, R. 1998. Laplacian graph eigenvectors. Linear Algebra and Its Applications 278 (1–3):221–36. doi: 10. 1016/S0024-3795(97)10080-5.
  • [30] Moran, P. 1950. Notes on continuous stochastic phenomena. Biometrika 37 (1–2):17–23. doi: 10.2307/2332142.
  • [31] Ord, K. 1975. Estimation methods for models of spatial interaction. Journal of the American Statistical Association 70 (349):120–26. doi: 10.1080/01621459. 1975.10480272.
  • [32] Redies, C., and A. Brachmann. 2017. Statistical image properties in large subsets of traditional art, bad art, and abstract art. Frontiers in Neuroscience 11:593. doi: 10.3389/fnins.2017.00593.
  • [33] Rubin, D. 2010. Psychedelic: Optical and visionary art since the 1960s. Cambridge, MA: MIT Press.
  • [34] Schattschneider, D. 2003. Mathematics and art—So many connections. MAM2003. Accessed June 20, 2022. http://www.mathaware.org/mam/03/essay3.html.
  • [35] Schoch, K., H. Gruber, and T. Ostermann. 2017. Quantitative picture analysis—Aratinginstrumentfor two-dimensional pictorial work (RizbA). The Arts in Psychotherapy 55:73–79. doi: 10.1016/j.aip.2017.04.014.
  • [36] Sigaki, H., M. Perc, and H. Ribeiro. 2018. History of art paintings through the lens of entropy and complexity. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 115 (37):E8585–E8594.
  • [37] Stork, D. 2010. From digital imaging to computer image analysis of fine art. In Arts and technology: Proceedings of ArtsIT 2009, ed. F. Huang and R. Wang, vol. 30, 1–8. Berlin, Germany: Springer-Verlag.
  • [38] Tinkler, K. J. 1972. The physical interpretation of eigenfunctions of dichotomous matrices. Transactions of the Institute of British Geographers 55 (55):17–46. doi: 10. 2307/621721.
  • [39] Xue, J., and B. Su. 2017. Significant remote sensing vegetation indices: A review of developments and applications. Journal of Sensors 2017:1–17. doi: 10. 1155/2017/1353691.
  • [40] Young, S., and P. Kelly. 2017. Macro or micro? A visual art exhibition challenging our perceptions of scale. GeoHumanities 3 (1):250–65. http://www.tandfonline. com/. doi: 10.1080/2373566X.2017.1295815.