数值优化算法【4】-- Adam 方法
数值优化算法【4】-- Adam 方法
RMSProp 和 AdaDelta 均采用加权移动平均的方法，对二阶动量做了窗口限制，使得学习效率得到明显提升； AdaDelta 方法进一步对学习率的分子项做了自动累积计算，无需人工指定全局学习率超参数（实际情况表明， AdaDelta 容易陷入局部最优解的陷阱）。 Adam 算法则采用了另外一种思路，其没有将思路放在自动计算学习率上，而是考虑将一阶动量引入学习率的更新，使学习过程更优。
1、 算法介绍
Adam 算法使用了一阶动量变量 vt\boldsymbol{v}_tvt 和 RMSProp 算法中的二阶动量变量 Gt\boldsymbol{G}_tGt ，并在时间步0将其初值置为0。
给定超参数 0≤β1<10 \leq \beta_1 < 10≤β1<1 （算法作者建议设为 0.90.90.9 ），时间步 ttt 的一阶动量变量 vt\boldsymbol{v}_tvt 为梯度 gt\boldsymbol{g}_tgt 与 vt−1v_{t-1}vt−1 加权移动平均：
vt←β ...
数值优化算法【3】-- 动量法及其变种
数值优化算法【3】-- 动量法及其变种
一、问题的提出
上节提到的批量梯度下降(BGD)、随机梯度下降(SGD)和小批量梯度下降法(MBGD)，基础完全一致，区别仅在于批大小（batch size）的不同。虽然由于批大小不同带来了很多不同的特性，但它们均避免不了一个问题，即模型参数的更新方向依赖于当前batch计算出的梯度，这可能会带来一些问题。
让我们考虑一个输入为二维向量 x=[x1,x2]⊤\boldsymbol{x} = [x_1, x_2]^\topx=[x1,x2]⊤ 、输出为标量的目标函数f(x)=0.1x12+2x22f(\boldsymbol{x})=0.1x_1^2+2x_2^2f(x)=0.1x12+2x22。 下图为基于该目标函数的梯度下降，学习率为 0.40.40.4 时的自变量迭代轨迹。可以看到，同一位置上，目标函数在竖直方向（x2x_2x2轴方向）比在水平方向（x1x_1x1轴方向）的斜率的绝对值更大。因此，给定学习率，梯度下降迭代自变量时会使自变量在竖直方向比在水平方向移动幅度更大。那么，我们需要一个较小的学习率从而避免自变量在竖 ...
数值优化算法【2】-- 梯度下降算法
数值优化算法【2】-- 梯度下降算法
本节介绍梯度下降（gradient descent）的工作原理。虽然梯度下降在深度学习中很少被直接使用，但理解梯度的意义，以及沿着梯度反方向更新模型参数以降低目标函数值的原理，是后面各种优化方法的基础。 梯度下降法又被称为最速下降法，是获得数值解的一种常用算法，主要分为批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）以及小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）三种不同的形式。
一、理解梯度下降
（1）一维梯度下降
先以简单的一维梯度下降为例，解释梯度下降算法可能降低目标函数值的原因。
假设连续可导的函数 $ J: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 的输入和输出都是标量。给定绝对值足够小的数 $ \epsilon $ ，根据泰勒展开公式，得到以下的近似：
J(x+ϵ)≈J(x)+ϵJ′(x).J(x + \epsilon) \approx J(x ...
数值优化算法【1】-- 常用优化算法
数值优化算法【1】-- 常用优化算法
一、解析解与数值解的概念
很多机器学习和深度学习方法，都是在样本的支持下，利用导数或偏微分寻求方程的解，而传统数学方法中，会用到解析和数值两种解法。
（1）解析解法：
就是从小到大教科书里讲的，利用严格公式推导获得解的解析表达式，输入自变量的值就可以求出因变量。
如果一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算（如：分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等）的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。
例如：对于线性回归模型，采用最小二乘法可以直接得出解析解，x=(ATA)−1ATb，其中A是样本支撑的矩阵，b为观测值x=(A^TA)^{-1}A^Tb，\quad 其中A是样本支撑的矩阵，b为观测值x=(ATA)−1ATb，其中A是样本支撑的矩阵，b为观测值
（2）数值解法：
当无法由微积分技巧求得解析解时（特别是复杂函数），利用数值分析方式来求得其数值解是比较好的选择。
采用某种计算方法（如：有限元方法、数值逼近、插值方法等）得到的解，被称为数值解。
数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值。
例如：同样对于线性回归模 ...