条件自回归和本征自回归
13.1 引言
本章的目的是概述条件自回归和本征自回归。这些模型至少可以追溯到 Besag (1974)，并且从那时起就被广泛用于模拟离散空间变化。
传统上，条件自回归已用于直接模拟在预定义图形或格结构上观测到的数据的空间依赖性。然后，推理通常基于似然或伪似然技术 (Besag, 1974; K̈unsch, 1987)。最近，条件自回归以模块化方式应用于（通常是贝叶斯）复杂层次模型。尽管确实存在一些替代方案（Breslow 和 Clayton，1993 年；Rue、Martino 和 Chopin，2009 年），但此类推理几乎总是使用马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 进行。在本章中，我们将描述最常用的条件自回归和本征自回归。重点将放在空间模型上，但我们还将讨论与自回归时间序列模型的关系。事实上，自回归时间序列模型是条件自回归的特例，探索这种关系有助于培养普通班级的直觉和理解力。
本章不会详细描述如何建立基于条件自回归先验分布的层次模型以及如何使用 MCMC 对其进行分析。有关详细讨论，请参阅 Banerjee、Carlin 和 Gelfand，2004 年；希格登, 2 ...
马尔可夫随机场
【摘 要】在空间统计学中，面元数据的空间统计建模通常是采用马尔可夫随机场实施的。本文针对单随机变量（随机过程）情况，介绍了其定义、性质、推断方法、分布的计算等内容，尤其突出了高斯马尔可夫随机场（GMRF）。内容摘自 Gelfand 的 《空间统计手册》第十二章。
【原 文】 Gelfand, A.E. et al. (2010)， Handbook of spatial statistics (chapter 12). CRC press.
空间随机变量的有限集合的统计建模，通常通过马尔可夫随机场 (MRF) 完成。 MRF 是通过一组条件分布来指定的，其中每一个条件对应于某个分量在给定其他分量时的条件分布。这使人们能够每次只专注于单个随机变量，并导致了基于模拟的简单 MRF 计算程序，特别是利用马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 进行贝叶斯推断。
本章的主要目的是全面介绍高斯马尔可夫随机场（ GMRF ）的情况，重点是通用性质和高效计算方法。示例和应用将会出现在 第 13 章 和 第 14 章。我们将在本章最后讨论联合分布不是高斯的一般情况，特别是著名的 Hammersl ...
CAR 和 SAR 模型及其隐含的空间结构
【摘 要】 对空间参考数据中出现的空间相互作用进行建模通常是通过自回归模型将空间依赖性显式或隐式地纳入协方差结构来完成的。对于面元数据，两种常见的自回归模型是 条件自回归模型 (CAR) 和 同步自回归模型 (SAR)。这两种模型都会在协方差结构中通过邻居矩阵 W\mathbf{W}W 的函数产生空间依赖性，并且通常是 一个固定但未知的空间相关参数。本文详细研究了这些模型应用于不规则面元数据时隐含的关联结构，尝试证明它们的许多违反直觉或不切实际的结果。数据示例用于说明，其中使用不同的空间模型对美国全州平均 SAT 语言分数进行建模和检查空间结构。
【原 文】 Wall, M.M. (2004) ‘A close look at the spatial structure implied by the CAR and SAR models’, Journal of Statistical Planning and Inference, 121(2), pp. 311–324. Available at: https://doi.org/10/d2pjx8.
1 简介
在许多设 ...
【面元数据】之数据模型篇
【阅读建议】 空间数据集通常被分为三种类型：面元数据、面元数据和点模式数据，本文重点介绍面元数据的形式化定义。
【引文信息】
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按照惯例，通常将空间数据集分为三种基本类型：
面元数据 (Point-referenced data)
其中 $$Y(s)$$ 是位置 $$\mathbf{s} \in \mathit{R}^r$$ 处的随机向量，其中 $$\mathbf{s}$$ 在 $$\mathit{R}^r$$ 的一个固定子集 $$D$$ 上 连续变化，具有 $$r$$ 维矩形的正体积；
面元数据（Areal data）
其中 $$D$$ 依然是 $$\mathit{R}^r$$ 的一个固定子集，具有规则或不规则的形状，不过现在 $$D$$ 被 划分 为有限数量的、具有明确边界的面元；
点模式数据（Point pattern data）
D$$ 本身是随机的；其索引的集合 (Index set) 给出了作为空间点模式的随机事件的位置。 $$Y(s)$$ 本身对于所有 $$s \in D$$ 可以简单地等于 $$1$$ （表示事 ...
【点模式数据】之数据模型篇
【阅读建议】 空间数据集通常被分为三种类型：点模式数据、点模式数据和点模式数据，本文重点介绍点模式数据的形式化定义。
【引文信息】
p{text-indent:2em}
按照惯例，通常将空间数据集分为三种基本类型：
点模式数据 (Point-referenced data)
其中 Y(s)Y(s)Y(s) 是位置 s∈Rr\mathbf{s} \in \mathit{R}^rs∈Rr 处的随机向量，其中 s\mathbf{s}s 在 Rr\mathit{R}^rRr 的一个固定子集 DDD 上 连续变化，具有 rrr 维矩形的正体积；
点模式数据（Areal data）
其中 DDD 依然是 Rr\mathit{R}^rRr 的一个固定子集，具有规则或不规则的形状，不过现在 DDD 被 划分 为有限数量的、具有明确边界的点模式；
点模式数据（Point pattern data）
DDD 本身是随机的；其索引的集合 (Index set) 给出了作为空间点模式的随机事件的位置。 Y(s)Y(s)Y(s) 本身对于所有 s∈Ds \in Ds∈D 可以简单地等于 ...