西山晴雪的知识笔记

〖摘 要〗 介绍了连续域空间过程的参数估计（指均值函数的参数估计）和模型识别（指残差对应的空间过程模型识别）程序。在本文中，空间过程被假定为具有残差的线性模型，且残差服从二阶平稳高斯随机场，同时假定数据由任意采样位置处空间过程的含噪声观测值组成。本文采用了具有椭圆等值线的二维有理密度函数对空间协方差函数进行建模，文中提出的迭代式估计方法可以减轻非格元数据中常规最大似然估计的许多计算困难。 〖原 文〗 Vecchia, A.V. (1988) ‘Estimation and Model Identification for Continuous Spatial Processes’, Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 50(2), pp. 297–312. Available at: https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1988.tb01729.x. 1 引言 1.1 背景 令 {Z(x,y)}\{Z(x, y)\}{Z(x,y)} 为一 ...

1 综述类 自行整理的 《空间回归模型综述》: 空间回归模型是按照空间区位研究变量之间关系的主要数学工具。根据回归模型是否存在局部空间同质特征（或反之空间异质性），通常可以将空间回归模型划分为 全局空间回归模型 和 局部空间回归模型。 Fotheringham 2022 年的 《空间局部化思维对于统计和社会科学的重要性》: 在过去的二十年里，越来越多的注意力集中在局部形式的空间分析上，无论是在描述性统计还是空间建模方面，我们称之为 “局部化思维”。局部化思维的基础在于：全局空间分析方法可能不适用，并且待测量的条件关系存在随空间变化的情况。本文不仅研究了局部化思维对空间过程建模的影响，而且更广泛地考察了人们对空间行为的理解。我们首先简要调查了局部统计建模的原因；然后描述一种局部建模框架（多尺度地理加权回归），以展示局部模型中的基本概念和此类模型的输出类型；之后，我们研究了局部方法对统计分析的影响，重点是局部模型与空间回归模型相比的作用、局部模型的诊断、局部方法如何与困扰空间分析数十年的空间尺度问题相关联等问题；最后，我们将注意力转向空间局部建模方法对社会的影响，讨论了可复制 ...

〖摘 要〗 由于计算负担，似然法通常难以用于大型、位置不规则的空间数据集。即使对于高斯模型，精确计算 nnn 个观测值的似然也需要 O(n3)\mathcal{O}(n^3)O(n3) 运算。任何联合密度都可以写成基于某些观测顺序的条件密度之积，因此一种减少计算的方法是在计算上述条件密度时，仅以部分的 “过去” 观测为条件。本文重点探讨了此类方法如何应用于受限似然的近似，特别展示了如何利用 估计方程方法 判断近似的有效性。此外，过前的工作通常建议以当前观测的历史最近邻观测为条件，但我们通过理论、数值和实例表明，以一些远距离的观测为条件，通常也可以带来相当大的好处。 〖原 文〗 Stein, M.L., Chi, Z. and Welty, L.J. (2004) ‘Approximating likelihoods for large spatial data sets’, Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 66(2), pp. 275–296. A ...

【摘 要】 连续索引的高斯场 (GF) 是空间统计建模和地统计学中最重要的组成部分，通过协方差函数的定义给出了场性质的直观解释。在计算方面，高斯场受到大 nnn 问题限制，因为密集矩阵的分解计算成本是维度的三次方（O(n3)\mathcal{O}(n^3)O(n3)）。尽管当前计算能力处于历史最高水平，但这一事实似乎仍然是许多应用中的瓶颈。与高斯场同样中要的，还有一类离散索引的高斯马尔可夫随机场 (GMRF)，其马尔可夫性质导致精度矩阵的稀疏性，从而使我们可以使用稀疏矩阵的数值算法。对于 R2\mathbb{R}^2R2 中的场， GMRF 仅使用了一般算法所需时间的平方根（O(n3)\mathcal{O}(\sqrt{n^3})O(n3​)）。 GMRF 由其完整条件分布分布定义，但在这种参数化形势下，其边缘分布性质并不明确。在本文中，我们展示了：对于 Matérn 类型的某些高斯场，（线性）随机偏微分方程的近似随机弱解，可以为 Rd\mathbb{R}^dRd 上的任何三角形剖分提供在高斯场和 GMRF 之间的显式链接，进而可以将该高斯场表示为基函数的形式。其好处是：我 ...

【摘 要】 非常大的空间数据集的空间统计具有挑战性。数据集的大小 nnn 会导致计算最优空间预测变量（例如克里金法）出现问题，因为其计算成本为 nnn 的三次方。此外，大型数据集通常是在大型空间域上定义，因此感兴趣的空间过程通常在该域上表现出非平稳行为。 通过使用一组固定数量的基函数，可以定义一个灵活的非平稳协方差函数族，这产生了我们称为 “固定秩克里金法” 的空间预测方法。具体来说，固定秩克里金法就是此类非平稳协方差函数支撑下的克里金法。当 nnn 非常大时，它依赖于计算简化，以获得隐空间过程的空间最佳线性无偏预测器及其均方预测误差。基于最小化加权 Frobenius 范数的方法产生协方差函数参数的最佳估计量，然后将其代入固定秩克里金方程。新方法适用于在整个地球上观测到的非常大的臭氧数据集，其中 nnn 约为数十万。 【原 文】 Cressie, N. and Johannesson, G. (2008) ‘Fixed rank kriging for very large spatial data sets: Fixed Rank Kriging’, Journal o ...

【摘 要】 空间相关随机过程的插值被用于许多科学领域。最好的无偏线性预测器，在地统计科学中通常称为克里金预测器，需要基于观测值的协方差矩阵求解（可能很大的）线性系统。在本文中，我们展示了使用适当的紧支撑正定函数对正确的协方差矩阵进行锥化可以显著减少计算负担，并且仍然会导致渐近最优均方误差。锥化的效果是创建一个稀疏的近似线性系统，然后可以使用稀疏矩阵算法对其进行求解。蒙特卡洛模拟支持理论结果。一个大型气候降水数据集的应用作为一个具体和实际的例子被提出。 【原 文】 Furrer, R., Genton, M.G. and Nychka, D. (2006) ‘Covariance Tapering for Interpolation of Large Spatial Datasets’, Journal of Computational and Graphical Statistics, 15(3), pp. 502–523. Available at: https://doi.org/10.1198/106186006X132178. 1 引言 许多学科的统计应用都依赖于根 ...

【摘 要】 用于分析地统计数据的空间过程模型需要进行计算，随着空间位置的数量变大，这些计算变得令人望而却步。本文开发了一类高度可扩展的最近邻高斯过程 (NNGP) 模型，为大型地统计数据集提供完全基于模型的推断。我们确定最近邻高斯过程是一个定义明确的空间过程，它提供合法的有限维高斯密度和稀疏精度矩阵。我们将最近邻高斯过程作为稀疏归纳先验嵌入到丰富的分层建模框架中，并概述了如何在不存储或分解大型矩阵的情况下执行计算高效的马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 算法。该算法每次迭代的浮点运算 (flops) 与空间位置的数量成线性关系，从而呈现出可观的可扩展性。我们使用模拟研究说明了最近邻高斯过程相对于竞争方法的计算和推断优势，并且还分析了美国森林资源清查数据集中的森林生物量，其规模超过了其他降维方法。本文的补充材料可在线获取。 【原 文】 Datta, A. et al. (2016) ‘Hierarchical Nearest-Neighbor Gaussian Process Models for Large Geostatistical Datasets’, Journal ...

【摘 要】 有了地理编码的可用科学数据，研究人员越来越多地转向空间过程模型来进行统计推断。在过去的十年中，通过马尔可夫链蒙特卡洛方法实现的分层模型在空间建模中变得特别流行，因为它们能够灵活地拟合传统方法不可行的模型，并且避免了可能不正确的渐近。然而，拟合分层空间模型通常涉及昂贵的矩阵分解，其计算复杂度随空间位置的数量呈三次方增加，使得此类模型不适用于大型空间数据集。这种计算负担在具有多个空间相关响应变量的多变量设置中更为明显。当在频繁的时间点收集数据并使用时空过程模型时，这种情况会加剧。关于这一挑战，本文贡献是使用空间和时空数据的预测过程模型。每个空间（或时空）过程都会产生一个预测过程模型（实际上可以是任意多个）。后者将前者的过程实现投影到低维子空间，从而减少了计算负担。因此，我们实现了在大数据集上下文中拟合非平稳、非高斯、多变量、时空过程的灵活性。我们讨论了这些预测过程的理论特性，还提供了一个包含不同设置的计算模板。最后，我们用模拟和真实数据集来说明了该方法。 【原 文】 Banerjee, S. et al. (2008) ‘Gaussian predictive pr ...

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